関数グラフ・シミュレータ中〜高中学・高校の数学で学ぶ関数のグラフ
関数は「式」と「グラフ（形）」をセットで覚えるのが近道だよ。下のグラフはスライダーを動かすと形が変わるんだ。a・b・p・q などを動かして、変化を確かめてみよう。
① 一次関数（直線）y = ax + b
| 記号 | グラフでの働き |
|---|---|
| a（傾き） | x が1増えると y は a 増える。a が大きいほど急な右上がり、a が負なら右下がり、a = 0 で水平 |
| b（切片） | グラフが y 軸と交わる高さ。b を変えると直線が上下に平行移動する（傾きはそのまま） |
② 二次関数（頂点形）y = a(x − p)² + q
放物線の頂点がちょうど (p, q) になるんだ。
| 記号 | グラフでの働き |
|---|---|
| a | a > 0 で下に開く谷型、a < 0 で上に開く山型。|a| が大きいほどカーブが急（細い）、小さいほど緩い（広い） |
| p | グラフ全体が左右に平行移動（p を大きくすると右へ） |
| q | グラフ全体が上下に平行移動（q を大きくすると上へ） |
＊展開すると y = ax² + bx + c になるんだ。y = ax² は p = 0・q = 0 の特別な場合だよ。
③ 二次関数（一般形）y = ax² + bx + c
②と同じ放物線を、展開した形で書いたものだよ。形（開き方）を決めるのは a だけで、b と c は位置をずらす役目なんだ。
| 記号 | グラフでの働き |
|---|---|
| a | 放物線の開き方を決める（＋で谷型・−で山型。|a| が大きいほど急） |
| b | 頂点を斜めに動かす。軸（左右の中心）は x = −b2a の位置 |
| c | y 軸と交わる高さそのもの（x = 0 を入れると y = c） |
＊平方完成すると y = a(x − p)² + q の形に直せて、p = −b2a、q はそこに x を入れた y の値になるよ。
＊x 軸と交わる点は ax² + bx + c = 0 の解だよ。b² − 4ac が＋なら2点で交わり、0 なら1点で接し、−なら交わらないんだ。
＊x 軸と交わる点は ax² + bx + c = 0 の解だよ。b² − 4ac が＋なら2点で交わり、0 なら1点で接し、−なら交わらないんだ。
④ 反比例y = ax
2本の滑らかな曲線（双曲線）だよ。x と y を掛けると必ず a になるんだ（y = 6x なら 1×6, 2×3, 3×2）。
a > 0 なら右上と左下、a < 0 なら左上と右下になるよ。|a| が大きいほど原点から遠ざかるんだ。
x = 0・y = 0 には近づくけれど決して触れないんだ（漸近線）。
a > 0 なら右上と左下、a < 0 なら左上と右下になるよ。|a| が大きいほど原点から遠ざかるんだ。
x = 0・y = 0 には近づくけれど決して触れないんだ（漸近線）。
⑤ 分数関数y = ax − p + q
④の反比例のグラフを、右へ p・上へ q だけ平行移動したものだよ。形はそのまま、場所だけが動くんだ。
漸近線（曲線が限りなく近づくけれど決して触れない線）も一緒に動いて、x = p（縦）と y = q（横）の2本になるよ。
x = p は代入できない（分母が0になってしまう）ので、そこでグラフは左右2つに切れているんだ。
＊2x + 3x − 1 のような式も、割り算をして 5x − 1 + 2 の形に直せば、この形の仲間だと分かるよ。
漸近線（曲線が限りなく近づくけれど決して触れない線）も一緒に動いて、x = p（縦）と y = q（横）の2本になるよ。
x = p は代入できない（分母が0になってしまう）ので、そこでグラフは左右2つに切れているんだ。
＊2x + 3x − 1 のような式も、割り算をして 5x − 1 + 2 の形に直せば、この形の仲間だと分かるよ。
⑥ 三角関数（波）y = a sin( b(x − c) ) + d
| 記号 | グラフでの働き |
|---|---|
| a（振幅） | 波の高さ。|a| が大きいほど波が高くなる（a が負だと上下が反転する） |
| b | 波の細かさ。b が大きいほど波が密になる（1周期の長さ ＝ 2π ÷ b） |
| c（位相） | 波を左右にずらす |
| d | 波全体を上下にずらす（真ん中の高さ） |
⑦ 三角関数（波）y = a cos( b(x − c) ) + d
cos も sin と全く同じ形の波だよ。違うのはスタート位置だけなんだ。
sin は x = 0 で 0（真ん中）から上がり始めるのに対して、cos は x = 0 で最大（山のてっぺん）から始まるよ。
実は cos x ＝ sin( x ＋ π2 ) で、cos の波は sin の波を左へ π2 ずらしただけなんだ。
a・b・c・d の働きは sin と全く同じだよ（振幅・波の細かさ・左右のずれ・上下のずれ）。
sin は x = 0 で 0（真ん中）から上がり始めるのに対して、cos は x = 0 で最大（山のてっぺん）から始まるよ。
実は cos x ＝ sin( x ＋ π2 ) で、cos の波は sin の波を左へ π2 ずらしただけなんだ。
a・b・c・d の働きは sin と全く同じだよ（振幅・波の細かさ・左右のずれ・上下のずれ）。
⑧ 三角関数（急カーブ）y = a tan( b(x − c) ) + d
tan は sin・cos と違って波にならないんだ。下からグッと立ち上がって上へ突き抜けるカーブが、同じ間隔で繰り返されるよ。
tan x ＝ sin xcos x なので、cos x = 0 になるところでは値が決まらないんだ。そこが縦向きの漸近線になって、グラフはそこで切れているよ。
繰り返しの周期は π（sin・cos の半分）だよ。b を大きくすると πb ごとの繰り返しになって、間隔が狭くなるんだ。
a はカーブの立ち上がりの急さ、c は左右のずれ、d は上下のずれだよ。山も谷も無いので「振幅」という言い方はしないんだ。
tan x ＝ sin xcos x なので、cos x = 0 になるところでは値が決まらないんだ。そこが縦向きの漸近線になって、グラフはそこで切れているよ。
繰り返しの周期は π（sin・cos の半分）だよ。b を大きくすると πb ごとの繰り返しになって、間隔が狭くなるんだ。
a はカーブの立ち上がりの急さ、c は左右のずれ、d は上下のずれだよ。山も谷も無いので「振幅」という言い方はしないんだ。
⑨ 指数関数y = aˣ
指数関数は「変数 x が指数（右上）の位置にある」関数だよ。「底 a」を −8 〜 8 で動かすと増え方の急さが変わって、「表示範囲」を動かすと x も y も ±4 〜 ±10 の間で見る広さを変えられるんだ。
a > 1 のとき右へ行くほど爆発的に増加するんだ（a が大きいほど急）。x = 0 では必ず y = 1 になるよ（どんな底でも a⁰ = 1）。
左（x が負）へ行くと限りなく 0 に近づくけれど 0 にはならないんだ（x 軸が漸近線）。底を 2 から 5 に変えると、同じ広さで見ていてもあっという間に画面の上へ飛び出してしまうね。
＊底が 0 と 1 の間（例 0.5）だと、右へ行くほど減っていく形になるんだ。a = 1 なら y = 1 の水平な直線、a = 0 なら x > 0 で y = 0 になるよ。
＊底が負（a < 0）だと、なめらかな曲線にはならないんだ。たとえば (−2)0.5 は √(−2) のことで、実数では計算できないからだよ。x が整数のところだけ値が決まって、しかも＋と−が交互に現れるので、グラフは点で表示しているんだ。
＊こうした不都合があるので、高校では指数関数の底を a > 0 かつ a ≠ 1 と決めているよ。
左（x が負）へ行くと限りなく 0 に近づくけれど 0 にはならないんだ（x 軸が漸近線）。底を 2 から 5 に変えると、同じ広さで見ていてもあっという間に画面の上へ飛び出してしまうね。
＊底が 0 と 1 の間（例 0.5）だと、右へ行くほど減っていく形になるんだ。a = 1 なら y = 1 の水平な直線、a = 0 なら x > 0 で y = 0 になるよ。
＊底が負（a < 0）だと、なめらかな曲線にはならないんだ。たとえば (−2)0.5 は √(−2) のことで、実数では計算できないからだよ。x が整数のところだけ値が決まって、しかも＋と−が交互に現れるので、グラフは点で表示しているんだ。
＊こうした不都合があるので、高校では指数関数の底を a > 0 かつ a ≠ 1 と決めているよ。
比べてみよう：累乗（べき）関数 y = xⁿ
こちらは反対に x のほうが底で、指数 n は固定の数だよ。同じ「2」が出てきても、y = 2ˣ（指数関数）と y = x²（累乗関数）は全く別の関数なんだ。
n が偶数（2・4）なら y 軸をはさんで左右対称の谷型、n が奇数（1・3・5）なら原点を中心に点対称のS字になるよ（n = 1 はただの直線 y = x だね）。
＊どちらも右へ行くほど増えるけれど、最後に勝つのは必ず指数関数のほうなんだ。x = 10 で比べると x² = 100 に対して 2ˣ = 1024 だよ。
n が偶数（2・4）なら y 軸をはさんで左右対称の谷型、n が奇数（1・3・5）なら原点を中心に点対称のS字になるよ（n = 1 はただの直線 y = x だね）。
＊どちらも右へ行くほど増えるけれど、最後に勝つのは必ず指数関数のほうなんだ。x = 10 で比べると x² = 100 に対して 2ˣ = 1024 だよ。
⑩ 対数関数（指数関数の逆）y = logₐ x
指数関数とは逆に、x が a 倍になるごとに y が1ずつ増える、ゆっくり増える曲線だよ。
x > 0 でのみ定義されて（x ≦ 0 では値なし）、底に関係なく必ず (1, 0) を通るんだ（logₐ1 = 0）。x = a のとき y = 1 になるよ（logₐa = 1）。
y 軸（x = 0）に近づくほど下へ限りなく伸びていくんだ（漸近線）。
x > 0 でのみ定義されて（x ≦ 0 では値なし）、底に関係なく必ず (1, 0) を通るんだ（logₐ1 = 0）。x = a のとき y = 1 になるよ（logₐa = 1）。
y 軸（x = 0）に近づくほど下へ限りなく伸びていくんだ（漸近線）。
⑪ 三次関数y = a(x − α)(x − β)(x − γ)
因数分解の形では α・β・γ が x 軸との交点になるよ（その x で y = 0）。
上がって下がってまた上がる（または逆）S字なんだ。a の符号で全体の向きが決まって、|a| でカーブの大きさが変わるよ。
上がって下がってまた上がる（または逆）S字なんだ。a の符号で全体の向きが決まって、|a| でカーブの大きさが変わるよ。
⑫ 無理関数y = a√x + q
根号（√）の中が負になってはいけないので、x ≧ 0 の右半分にしかグラフが無いのが最大の特徴だよ。
初めは急に立ち上がって、だんだん緩やかになるカーブなんだ（x が4倍で y は2倍、9倍で3倍）。
a：伸び方だよ。a が負だと下向きに垂れ下がる形になるんだ。q：グラフ全体を上下にずらすよ（出発点が (0, q) になる）。
＊y = a√x の両辺を2乗すると y² = a²x。つまり放物線を横に倒した形の、上半分（または下半分）だけなんだ。
初めは急に立ち上がって、だんだん緩やかになるカーブなんだ（x が4倍で y は2倍、9倍で3倍）。
a：伸び方だよ。a が負だと下向きに垂れ下がる形になるんだ。q：グラフ全体を上下にずらすよ（出発点が (0, q) になる）。
＊y = a√x の両辺を2乗すると y² = a²x。つまり放物線を横に倒した形の、上半分（または下半分）だけなんだ。
⑬ 双曲線y = ±a√( (x − p)² + k ) + b
円や楕円の仲間（2次曲線）で、2本に分かれてどこまでも開いていく曲線だよ。式の ± の＋が上の枝、−が下の枝にあたるので、2本そろえて表示しているんだ。
両辺から b を引いて2乗すると (y − b)²a²k − (x − p)²k = 1 になって、教科書でおなじみの形になるよ。
中心は (p, b) で、2本が一番近づく点（頂点）は (p, b ± a√k) だよ。a を大きくすると2本の開きが急になるんだ。
遠くへ行くほど2本の直線に限りなく近づく（これも漸近線）のが双曲線の目印だよ。
両辺から b を引いて2乗すると (y − b)²a²k − (x − p)²k = 1 になって、教科書でおなじみの形になるよ。
中心は (p, b) で、2本が一番近づく点（頂点）は (p, b ± a√k) だよ。a を大きくすると2本の開きが急になるんだ。
遠くへ行くほど2本の直線に限りなく近づく（これも漸近線）のが双曲線の目印だよ。
⑭ 円（関数ではない図形）(x − h)² + (y − k)² = r²
円は「1つの x に y が1つ」ではないので関数ではないんだ。中心 (h, k)・半径 r の円は (x − h)² + (y − k)² = r² だよ。
h・k で中心が移動して、r で大きさが変わるよ。媒介変数 θ を使うと (x, y) = (h + r cosθ, k + r sinθ) と表せて、ぐるりと一周するんだ。
h・k で中心が移動して、r で大きさが変わるよ。媒介変数 θ を使うと (x, y) = (h + r cosθ, k + r sinθ) と表せて、ぐるりと一周するんだ。
⑮ 楕円(x−h)²a² + (y−k)²b² = 1
円を縦・横にのばした形が楕円だよ。中心 (h, k)、a が横方向の半径、b が縦方向の半径なんだ。
a > b で横長、a < b で縦長、a = b でちょうど円になるよ。媒介変数では (x, y) = (h + a cosθ, k + b sinθ) と表せるんだ。これも関数ではない図形だよ。
a > b で横長、a < b で縦長、a = b でちょうど円になるよ。媒介変数では (x, y) = (h + a cosθ, k + b sinθ) と表せるんだ。これも関数ではない図形だよ。