積分の基本高2〜3不定積分・定積分と面積の求め方
積分（せきぶん）は、微分の逆算をする道具だよ。「微分したら f(x) になる関数」を見つけたり、その関数を使って面積を求めたりできるんだ。
① 不定積分（原始関数を求める）
微分すると f(x) になる関数 F(x) のことを、f(x) の原始関数というよ。原始関数を全部まとめて表したものを不定積分といい、次のように書くんだ。
ここで C は積分定数（せきぶんていすう）。定数を微分すると 0 になるので、F(x) にどんな定数をたしても微分すれば同じ f(x) に戻るんだ。だから 「＋ C」を必ず書くのがルールだよ。
② べき乗の不定積分公式
微分（n を前に出して指数を1減らす）のちょうど逆をすればいいんだ。
指数を1つ増やして、増えたあとの指数でわるんだよ。例えば ∫x²dx なら、指数を2→3にして、3でわるから…
不定積分も微分と同じく項ごとに計算してたし引きできるよ。
（3x² → 3×13x³＝x³／−4（＝−4x⁰） → −4x／さいごに ＋C を忘れずに）
③ 定積分と面積
原始関数 F(x) が分かったら、x＝a から x＝b までの範囲で積分した「決まった数」を求めることができるよ。これを定積分というんだ。
不定積分と違って、定積分の答えはただの数になるよ（＋Cは要らない。F(b)とF(a)のCが引き算で消えるからなんだ）。この値は、f(x)＞0のとき、グラフと x軸、x＝a、x＝b で囲まれた部分の面積を表しているんだ。
例えば ∫20 x² dx を計算してみよう。原始関数は F(x)＝13x³ だから…
答えは 83。これが、放物線 y＝x² と x軸、x＝0、x＝2 で囲まれた部分の面積を表しているんだ。
④ 三角関数・指数関数の積分
基本の関数の積分公式は、微分の逆になっているよ。
- ∫ sin x dx ＝ −cos x ＋ C（符号がマイナスになることに注意）
- ∫ cos x dx ＝ sin x ＋ C
- ∫ ex dx ＝ ex ＋ C（exは微分しても積分しても形が変わらないよ）
- ∫ 1x dx ＝ ln|x| ＋ C（x＝0以外で使えるよ）
⑤ 公式のまとめ
- 1. ∫f(x)dx＝F(x)＋C（不定積分は「＋C」を忘れずに）
- 2. ∫xndx＝1n＋1xn＋1＋C（べき乗の積分＝微分の逆）
- 3. ∫[a,b] f(x)dx＝F(b)−F(a)（定積分はただの数。＋Cは消える）
- 4. 定積分の値は、f(x)＞0のとき グラフとx軸にはさまれた部分の面積を表す
積分の公式まとめ
不定積分は「微分すると もとの関数になるもの（原始関数）」を探す作業だ。微分の公式を逆向きにたどると考えると覚えやすい。
| 名前 | 積分する関数 | 原始関数 | ポイント |
|---|---|---|---|
| 定数 | ∫ c dx | c x ＋ C | 微分すると c に戻る |
| べき乗 | ∫ xn dx | 1n＋1 xn＋1 ＋ C | 指数を1増やして、その数で割る（n ≠ −1） |
| 定数倍 | ∫ c f(x) dx | c ∫ f(x) dx | 係数はそのまま外に出せる |
| 和・差 | ∫ { f(x) ± g(x) } dx | ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx | 項ごとにばらばらに積分してよい |
| 定積分 | ∫ba f(x) dx | F(b) − F(a) | 原始関数に上端・下端を代入して引く。＋C は消える |
不定積分では積分定数 ＋C を書き忘れないこと。逆に定積分では、F(b) − F(a) の引き算で ＋C が打ち消し合うので、書く必要がないんだ。