累乗（指数）と対数（log）の基本中〜高指数の仕組み・大小比べと、累乗の逆「対数」
累乗（るいじょう）は、同じ数を何回もかけ合わせる計算で、指数（しすう）を使って書くんだよ。意味・計算・大小の比べ方を、中学生向けにやさしく解説していくね。
① 累乗（るいじょう）とは
同じ数を何回もかけ合わせることを累乗っていうよ。2 を 3 回掛けた 2×2×2 は 23（2の3乗）と書くんだ。
かけられる数 2 を「底（てい）」、右肩の 3 を「指数（しすう）」っていうよ。
23 ＝ 2×2×2 ＝ 8（2×3＝6 ではないから気をつけよう）
23 ＝ 2×2×2 ＝ 8（2×3＝6 ではないから気をつけよう）
別の例も見てみよう。102＝10×10＝100、 32＝3×3＝9 みたいに、肩の数の回数だけ底をかけるのがポイントだよ。
② よく出る累乗の値
| 累乗 | かけ算の形 | 値 |
|---|---|---|
| 22 | 2×2 | 4 |
| 23 | 2×2×2 | 8 |
| 32 | 3×3 | 9 |
| 33 | 3×3×3 | 27 |
| 42 | 4×4 | 16 |
| 43 | 4×4×4 | 64 |
| 52 | 5×5 | 25 |
③ 累乗の大小の比べ方
① 底が同じ：指数が大きい方が大きいよ … 22（4）< 23（8）
② 指数が同じ：底が大きい方が大きいよ … 32（9）< 42（16）
③ 底も指数も違う：それぞれ値に直して比べよう … 23=8、 32=9 → 32 の方が大きい
② 指数が同じ：底が大きい方が大きいよ … 32（9）< 42（16）
③ 底も指数も違う：それぞれ値に直して比べよう … 23=8、 32=9 → 32 の方が大きい
④ 負の数の累乗（底がマイナス）
底（かけられる数）が負の数のときは、負の数を指数の回数だけかけ合わせるんだ。負の数を偶数回かけると＋、奇数回かけると−になるよ。
(−2)2 ＝ (−2)×(−2) ＝ 4（2回かけ → ＋）
(−2)3 ＝ (−2)×(−2)×(−2) ＝ −8（3回かけ → −）
(−3)2 ＝ 9、 (−3)3 ＝ −27
(−2)3 ＝ (−2)×(−2)×(−2) ＝ −8（3回かけ → −）
(−3)2 ＝ 9、 (−3)3 ＝ −27
⑤ −23 と (−2)3 の違い（超重要）
カッコがあるかないかで、累乗が「どこまでかかるか」が変わって、答えが違ってくるんだ。
(−2)3 … −2 そのものを3回かける ＝ (−2)×(−2)×(−2) ＝ −8
−23 … 2 だけを3回掛けて、あとから「−」をつける ＝ −(2×2×2) ＝ −8
※この例はどちらも −8 だけど、指数が偶数だと答えが変わるよ：
(−2)2 ＝ 4 に対して −22 ＝ −(2×2) ＝ −4
−23 … 2 だけを3回掛けて、あとから「−」をつける ＝ −(2×2×2) ＝ −8
※この例はどちらも −8 だけど、指数が偶数だと答えが変わるよ：
(−2)2 ＝ 4 に対して −22 ＝ −(2×2) ＝ −4
つまり −an は an を計算してから符号を「−」にしたもの、(−a)n は −a 全体を n 回掛けたものなんだ。指数は「すぐ左にあるもの」だけにかかると覚えておこう。
⑥ 負の数乗（指数がマイナス）
指数が負の数のときは、逆数（ぎゃくすう）にしてから正の累乗を計算するんだ。a−n は 1an のことだよ（高校で学ぶよ）。
2−1 ＝ 12 ＝ 0.5、 2−3 ＝ 123 ＝ 18
(−3)−2 ＝ 1(−3)2 ＝ 19、 (−3)−3 ＝ 1(−3)3 ＝ −127
※どんな数でも 0乗は 1：20＝1、 (−3)0＝1
(−3)−2 ＝ 1(−3)2 ＝ 19、 (−3)−3 ＝ 1(−3)3 ＝ −127
※どんな数でも 0乗は 1：20＝1、 (−3)0＝1
⑦ 発展：簡単な指数法則（中3〜）
am×an=am+n（例 22×23=25=32）／ am÷an=am−n ／ (am)n=am×n
⑧ 対数（たいすう・log）とは（高校〜）
対数は累乗の「逆」なんだ。「a を何乗すれば M になるか」という指数の値を表したものを logaM（a を底とする M の対数）と書くよ。
23 ＝ 8 を逆から見ると log28 ＝ 3（2 を 3 乗すると 8）
つまり ap ＝ M ⇔ logaM ＝ p。 a を「底（てい）」、M を「真数（しんすう）」っていうよ。
つまり ap ＝ M ⇔ logaM ＝ p。 a を「底（てい）」、M を「真数（しんすう）」っていうよ。
⑨ 対数の値の求め方
「底を何回掛けたら真数になるか」を数えるだけだよ。真数を底の累乗の形に直すと、指数がそのまま答えになるんだ。
| 対数 | 真数を累乗の形に | 答え |
|---|---|---|
| log28 | 8＝23 | 3 |
| log381 | 81＝34 | 4 |
| log5125 | 125＝53 | 3 |
| log101000 | 1000＝103 | 3 |
⑩ 覚えておきたい対数の値
loga1 ＝ 0（どんな数も 0 乗は 1：a0＝1）
logaa ＝ 1（a を 1 乗すると a）
logaan ＝ n（累乗と対数はちょうど打ち消し合うよ）
logaa ＝ 1（a を 1 乗すると a）
logaan ＝ n（累乗と対数はちょうど打ち消し合うよ）
⑪ 対数の大小の比べ方
① 底が同じ：真数が大きいほど対数も大きいよ … log28（3）< log216（4）
② 底や真数がバラバラ：それぞれ「何乗か」を求めて比べよう … log28＝3、 log39＝2 → log28 の方が大きい
② 底や真数がバラバラ：それぞれ「何乗か」を求めて比べよう … log28＝3、 log39＝2 → log28 の方が大きい
累乗（指数）が分かれば、その逆の対数も「何乗すればよいか」を考えるだけで求められるよ。ゲームの Lv.3 では、この対数を使った大小比べに挑戦できるんだ。