微分の基本高2〜3べき乗・積と商・合成関数・sin/cos/eˣ/ln xの微分
関数 y = f(x) の変化の様子を調べる道具が微分（びぶん）だよ。グラフのある点で「どれくらいの傾きで変化しているか」を求めることができるんだ。
① 平均変化率と極限
x が a から a＋h まで変わるとき、y の変化の割合を平均変化率というよ。
これは、グラフ上の2点を結んだ直線（割線）の傾きを表しているんだ。ここで h をかぎりなく 0 に近づけると、割線は「その点でグラフにピタッと接する直線＝接線」に近づいていくよ。この極限を f(x) の導関数といい、f′(x)（エフ ダッシュ エックス）や dydx で表すんだ。
② べき乗の微分公式
一番よく使う基本の公式がべき乗の微分だよ。
指数 n を前に下ろして、掛ける。そして指数を1つ減らすんだ。例えば y＝x³ なら y′＝3x²、y＝x（＝x¹）なら y′＝1、定数（x⁰と考える）の微分は0になるよ。
また、微分には和と差の公式があって、項ごとに微分してたし引きすればいいんだ。
⟹ y′ ＝ 12x³ − 4x
（3x⁴ → 4×3x³＝12x³／−2x² → 2×(−2)x＝−4x／定数の5 → 0、で全部たし合わせるよ）
③ 積の微分・商の微分
2つの関数 u(x)・v(x) の掛け算や 割り算を微分するときは、次の公式を使うんだ。
積の微分は「前を微分して後ろはそのまま、＋ 前はそのまま後ろを微分」と覚えるといいよ。商の微分は分子が「上を微分×下 − 上×下を微分」、分母は「下の2乗」になるんだ。
④ 合成関数の微分（chain rule）
y＝f(g(x)) のように、関数の中に関数が入っている形（合成関数）を微分するときは、チェーンルールを使うよ。
「外側を微分してから、内側を微分して掛ける」というイメージだよ。例えば y＝(2x−3)⁴ なら、外側の u⁴ を微分して 4u³、内側の u＝2x−3 を微分して 2。これをかけ合わせて…
内側が x だけ（傾き1）のときはこの掛け算が1になるので気づきにくいけど、内側が ax＋b のような式のときは、必ず a を最後に掛けるのを忘れないようにしよう。
⑤ 三角関数・指数関数・対数関数の微分
基本の関数の微分公式は、覚えておくと合成関数の微分にもすぐ使えるよ。
- y ＝ sin x ⟹ y′ ＝ cos x
- y ＝ cos x ⟹ y′ ＝ −sin x（符号がマイナスになるのを忘れずに）
- y ＝ ex ⟹ y′ ＝ ex（何回微分しても形が変わらない、特別な関数だよ）
- y ＝ ln x ⟹ y′ ＝ 1x（ln x は自然対数。x＞0のときの話だよ）
これらが合成関数の中に入っているとき（例：y＝sin(3x)）も、チェーンルールで「外側の微分 × 内側の微分」を計算すればいいんだ。
⟹ y′ ＝ cos(3x) × 3 ＝ 3cos(3x)
⑥ 公式のまとめ
- 1. y＝xn ⟹ y′＝n xn−1（べき乗の微分・和差はそのまま計算）
- 2. (uv)′＝u′v＋uv′、(uv)′＝u′v − uv′v²（積・商の微分）
- 3. y＝f(g(x)) ⟹ y′＝f′(g(x))×g′(x)（合成関数＝チェーンルール）
- 4. sin x→cos x／cos x→−sin x／ex→ex／ln x→1x（基本関数の微分）
微分の公式まとめ
ここまでに出てきた公式を1つの表にまとめた。どの形の関数に、どの公式を使うかを見分けられるようにしておこう。
| 名前 | もとの関数 | 導関数 | 使いどころ |
|---|---|---|---|
| 定数 | y ＝ c | y′ ＝ 0 | 定数はどれだけ動いても変化しない |
| べき乗 | y ＝ xn | y′ ＝ n xn−1 | いちばん基本。指数を前に出して1減らす |
| 定数倍 | y ＝ c f(x) | y′ ＝ c f′(x) | 係数はそのまま外に出せる |
| 和・差 | y ＝ f(x) ± g(x) | y′ ＝ f′(x) ± g′(x) | 項ごとにばらばらに微分してよい |
| 積の微分 | y ＝ u v | y′ ＝ u′v ＋ uv′ | かけ算の形。展開できるなら展開したほうが速い |
| 商の微分 | y ＝ uv | y′ ＝ u′v − uv′v² | 分数の形。分子の引き算の順に注意 |
| 合成関数 （連鎖律） | y ＝ f(g(x)) | y′ ＝ f′(g(x))・g′(x) | カッコの中にさらに式がある形。外側 × 内側 |
迷ったときは、まず「かけ算か、割り算か、カッコの中に式があるか」で形を見分けよう。どれでもなければ、べき乗の公式と和・差の公式だけで解けることがほとんどだよ。